Éponge de Menger

L'éponge de Menger est un solide fractal comportant une infinité de trous. On le construit par itérations successives. On part d'un cube, que l'on divise en 27 sous-cubes identiques. On enlève alors le cube central et les 6 cubes qui lui sont adjacents (ceux qui ont une face en commun avec lui). Il reste 20 cubes. Pour chacun de ces 20 cubes, effectuons la même opération. On obtient $20^2=400$ cubes. On répète ainsi cette opération une infinité de fois. L'éponge de Menger est la limite de l'objet créé.

La figure ci-dessous (crédit : Niabot, Wikimedia, CC BY 3.0) représente les 4 premières étapes de la construction de l'éponge de Menger.

L'éponge de Menger est une fractale autosimilaire dont la dimension de Hausdorff vaut $\ln(20)/\ln(3)\simeq 2,\!73$. Chaque face de l'éponge de Menger est un tapis de Sierpiński. Son intersection avec une diagonale ou une médiane du cube initial est un ensemble de Cantor...

L'éponge de Menger a été décrite pour la première foispar le mathématicien autrichien Karl Menger en 1926.