Transformée de Mellin
Si $f$ est une fonction mesurable sur $]0,+\infty[$ à valeurs dans $\mathbb R$, on définit sa transformée de Mellin par $$\mathcal Mf(s)=\int_0^{+\infty}f(t)t^{s-1}dt$$ définie aux points $s$ de $\mathbb C$ pour lesquels $t\mapsto f(t)t^{s-1}$ est intégrable sur $]0,+\infty[$. Par exemple, si $f$ est continue sur $]0,+\infty[$ et s'il existe $\alpha<\beta$ tels que $$f(x)=O(x^{-\alpha})\textrm{ quand }x\to 0$$ $$f(x)=O(x^{-\beta})\textrm{ quand }x\to+\infty$$ alors $\mathcal Mf$ définit une fonction holomorphe sur la bande $\alpha< \Re e(s)< \beta$.
$$ \begin{array}{r|c|l} f&\mathcal Mf&\textrm{Bande}\\ \hline \displaystyle \mathbf 1_{[0,a]}&\displaystyle \frac{a^s}s&\Re e(s)>0\\ \displaystyle e^{-ax}&\displaystyle\frac{\Gamma(s)}{a^s}&\Re e(s)>0\\ \displaystyle e^{-x^2}&\displaystyle\frac{\Gamma(s/2)}{1}&\Re e(s)>0\\ \displaystyle \frac1{1+x}&\displaystyle\frac{\pi}{\sin(\pi s)}&0<\Re e(s)<1\\ \displaystyle \frac1{1+x^2}&\displaystyle\frac{\pi/2}{\sin(\pi s/2)}&0<\Re e(s)<2\\ \displaystyle \ln(1+x)&\displaystyle\frac{\pi}{s\sin(\pi s)}&-1<\Re e(s)< 0\\ \end{array} $$Si $\varphi$ est une fonction holomorphe dans un demi-plan $\Re e(s)>\alpha$, on appelle transformée de Mellin inverse de $\varphi$ la fonction $$\mathcal M^{-1}\varphi(x)=\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}x^{-s}\varphi(s)ds$$ avec $c> \Re e(\alpha)$ où il s'agit d'une intégrale curviligne s'appliquant sur une droite verticale dans le plan complexe. On a alors le théorème suivant :
Les transformées de Mellin et de Mellin inverse sont utilisées dans la théorie des séries de Dirichlet à travers la formule de Perron.