Principe du maximum
Le principe du maximum est un théorème d'analyse complexe qui exprime que le module d'une fonction holomorphe non constante ne peut pas admettre un maximum local. On peut l'énoncer sous différentes formes :
Théorème : Soit $U$ un ouvert de $\mathbb C$ et $f:U\to\mathbb C$ holomorphe.
- Si $U$ est connexe et si $|f|$ a un maximum local en un point $a$ de $U$, alors $f$ est constante dans $U$.
- Si $U$ est borné et si $f$ se prolonge en une fonction continue sur $\overline U$, alors, pour tout $z\in U,$ on a $$|f(z)|\leq \sup\{ |f(w)|:\ w\in\partial U\}.$$
Le principe du maximum peut être déduit de la propriété de la moyenne, ou
même de la propriété de la sous-moyenne. Ainsi,
il peut être étendu à la classe des fonctions harmoniques (et même sous-harmonique).
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