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Maximum de Vraisemblance

La méthode du maximum de vraisemblance est une méthode statistique pour déterminer un paramètre inconnu, en maximisant une probabilité.

Exemple : Comment déterminer le nombre de poissons d'un étang?

Votre ami Pierrot vient d'acheter un étang, et il aimerait bien savoir le nombre $N$ de poissons qui y vivent. Il organise une première pêche, et ramène $r$ poissons. Il marque ces poissons, puis les relâche dans l'étang. Il organise une seconde pêche, et ramène $n$ poissons, dont $k$ sont marqués.

Dans un bassin où il y a $N$ poissons, dont $r$ sont marqués, la probabilité quand on en pêche (simultanément) $n$ d'en trouver $k$ qui sont marqués est : $$P_N=\frac{\binom rk \binom {N-r}{n-k}}{\binom Nn}$$ (un tirage simultanée de $n$ boules suit une loi hypergéométrique).

Pour estimer $N$, on cherche la valeur de $N$ pour laquelle la probabilité $P_N$ est maximale : c'est l'estimation par le maximum de vraisemblance. Or : $$\frac{P_N}{P_{N-1}}=\frac{(N-r)(N-n)}{(N-r-n+k)N}.$$ Ce rapport est supérieur à 1 si $NK<nr,$ et est inférieur à 1 si $Nk>nr.$ La valeur la plus grande de $P_N$ est donc obtenue pour $N=\lfloor \frac{nr}k\rfloor.$

Application numérique :

On se propose de vérifier a posteriori cette estimation par le maximum de vraisemblance. Dans l'étang numérique suivant, il y a 1000 poissons (virtuels). On organise deux pêches. A vous de vérifier si l'estimation donnée par le maximum de vraisemblance donne un résultat proche de 1000.

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