Idéal maximal
Un idéal propre $I$ d'un anneau commutatif $A$ est maximal si, pour tout autre idéal $J$ de $A$ tel que $I\subset J$, alors on a $J=I$ ou $J=A$. Autrement dit, un idéal est maximal s'il n'existe pas d'autre idéal autre que $A$ strictement plus gros que lui. Ceci revient à dire que l'anneau quotient $A/I$ est un corps.
Exemples :
- Dans $\mathbb Z$, $3\mathbb Z$ est un idéal maximal. En effet, si $I$ est un idéal contenant strictement $3\mathbb Z$, il existe $k\in I$ tel que $3\wedge k=1$. Par la relation de Bézout, il existe $(u,v)\in\mathbb Z^2$ tel que $$3u+kv=1.$$ Mais puisque $3,k\in I$ et que $I$ est un idéal, on obtient $1\in I$ et donc $I=\mathbb Z.$
- Dans $\mathbb Z$, $4\mathbb Z$ n'est pas un idéal maximal, puisque $4\mathbb Z$ est contenu strictement dans $2\mathbb Z.$
- Plus généralement, dans $\mathbb Z,$ l'idéal $k\mathbb Z$ est maximal si et seulement si $k$ est premier.
- Dans $\mathbb K[X]$, l'idéal engendré par $P\in\mathbb K[X]$ est maximal si et seulement si $P$ est irréductible.
- Les idéaux maximaux de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ sont les $d\mathbb Z/n\mathbb Z$ où $d$ est un nombre premier qui divise $n.$
- Les idéaux maximaux de $\mathbb Z[X]$ sont ceux qui s'écrivent $(p, P)$ où $p$ est un nombre premier et $P$ un polynôme unitaire irréductible modulo $p.$
Les idéaux maximaux sont liés aux idéaux premiers par le théorème suivant :
Théorème :
Soit $A$ un anneau commutatif. Alors tout idéal maximal de $A$ est premier. Réciproquement, si $A$ est principal,
tout idéal premier non réduit à $\{0\}$ est maximal.
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