Quelques matrices particulières
Une matrice $M$ de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ est dite
- symétrique si ${}^tM=M$. Une matrice symétrique réelle est toujours diagonalisable. En outre, la matrice de passage peut-être choisie orthogonale (cf ci-dessous).
- antisymétrique si ${}^tM=-M$. Une matrice antisymétrique est toujours de rang pair. En particulier, si $n$ est impair et $M$ est antisymétrique, alors $\det(M)=0$.
- orthogonale si ${}^tMM=M{}^tM=I_n$. Une matrice orthogonale est la matrice de passage d'une base orthonormale à une autre.
Si $M$ est une matrice de $\mathcal M_n(\mathbb C)$, on a des définitions analogues, mais légèrement différentes. La matrice $M$ est dite
- hermitienne si $M^* =M$ (ici, $M^*$ désigne la matrice adjointe de $M$). Une matrice hermitienne a ses valeurs propres réelles, est diagonalisable, la matrice de passage pouvant être choisie unitaire (cf ci-dessous).
- antihermitienne si $M^* =-M$. Une matrice antihermitienne a ses valeurs propres imaginaires pures (éventuellement égales à $0$), et est diagonalisable, la matrice de passage pouvant être choisie unitaire.
- unitaire si $M^*M=MM^*=I_n$. Toute matrice unitaire est une matrice de changement de base orthonormale. De plus, elle est diagonalisable, ses valeurs propres étant de module 1, et la matrice de passage peut-être choisie unitaire.
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