Matrice par blocs
Si $A\in\mathcal M_{n,q}(\mathbb K),$ $B\in\mathcal M_{p,q}(\mathbb K),$ $C\in\mathcal M_{n,r}(\mathbb K)$ et $D\in\mathcal M_{p,r}(\mathbb K),$ on peut définir une matrice $M\in\mathcal M_{n+p,q+r}(\mathbb K)$ par blocs de la façon suivante : $$M=\left(\begin{array}{c|c} A&C\\ \hline B&D \end{array}\right).$$ On peut définir les opérations par blocs de tailles compatibles (combinaison linéaire, produits, transposition). Par exemple, sous réserve de compatibilité de la taille des blocs, on a $$ \left(\begin{array}{c|c} A&C\\ \hline B&D \end{array}\right) \left(\begin{array}{c|c} E&G\\ \hline F&H \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c|c} AE+CF&AG+CH\\ \hline BE+DF&BG+DH \end{array}\right).$$ La transposée de la matrice $M$ est par ailleurs $$M^T=\left(\begin{array}{c|c} A^T&B^T\\ \hline C^T&D^T \end{array}\right)$$ Plus généralement, on peut définir une matrice par blocs de la façon suivante : $$M=\begin{pmatrix} A_{1,1}&A_{1,2}&\dots&A_{1,p}\\ A_{2,1}&A_{2,2}&\dots&A_{2,p}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_{n,1}&A_{n,2}&\dots&A_{n,p} \end{pmatrix}$$ où leq $A_{i,j}$ sont des matrices dont les tailles sont compatibles. Ces matrices sont associées aux décompositions en somme directe. Si $E=F_1\oplus\cdots\oplus F_r$, si $\mathcal B_i$ est une base de $F_i$, si $\mathcal B$ est la base de $E$ obtenue en concaténant $\mathcal B_1,\dots,\mathcal B_r,$ si $p_1,\dots,p_r$ est la famille de projection associée, et si $u\in\mathcal L(E)$, alors la matrice de $u$ dans $\mathcal B$ peut être obtenue comme la matrice par blocs des $A_{i,j}$, où $A_{i,j}$ est la matrice de $p_i\circ u\circ p_j$ dans les bases $\mathcal B_j$ et $\mathcal B_i$.
Une matrice $M$ est triangulaire supérieure par blocs si elle s'écrit $$M=\begin{pmatrix} A_{1,1}&A_{1,2}&\dots&A_{1,p}\\ 0&A_{2,2}&\dots&A_{2,p}\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\dots&0&A_{n,p} \end{pmatrix}.$$ On définit de même les matrices triangulaires inférieures par blocs et les matrices diagonales par blocs.
En général, le déterminant de
$M=\left(\begin{array}{c|c}
A&C\\
\hline
B&D
\end{array}\right)$ n'est pas $\det(A)\det(D)-\det(B)\det(C).$