Matrice d'une application linéaire
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $p$ muni d'une base $\mathcal B=(e_1,\dots,e_p)$ et $F$ un espace vectoriel de dimension $n$ muni d'une base $\mathcal B'=(f_1,\dots,f_n)$. Soit encore $u$ une application linéaire de $E$ vers $F$. On appelle matrice de $u$ dans les bases $\mathcal B$ et $\mathcal B'$ la matrice à $n$ lignes et $p$ colonnes dont la $i$ème colonne est constitué par les coordonnées du vecteur $u(e_i)$ dans la base $\mathcal B'$ :
Formulaire :
- Si $X$ est le vecteur colonne représentant $x\in E$ dans la base $\mathcal B$, si $Y$ est le vecteur colonne représentant $u(x)$ dans la base $\mathcal B'$, et si $A$ est la matrice de $u$ dans les bases $\mathcal B$ et $\mathcal B'$, alors $Y=AX.$
- Soient $\mathcal B_1$ et $\mathcal B_2$ deux bases de E,
et $\mathcal C_1$, $\mathcal C_2$ deux bases de F. On note
- A la matrice de u dans les bases $\mathcal B_1$ (au départ) et $\mathcal C_1$ (à l'arrivée);
- B la matrice de u dans les bases $\mathcal B_2$ (au départ) et $\mathcal C_2$ (à l'arrivée);
- P la matrice de passage de $\mathcal B_1$ à $\mathcal B_2$;
- Q la matrice de passage de $\mathcal C_1$ à $\mathcal C_2$.
- En particuler, si $u$ est un endomorphisme de $E$, de matrice $A$ dans la base $\mathcal B$, de matrice $B$ dans la base $\mathcal B',$ et si $P$ est la matrice de passage de $\mathcal B$ à $\mathcal B'$, alors $$B=P^{-1}AP.$$
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