$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Matrice fondamentale

Soit $X'(t)=A(t)X(t)$ un système différentiel linéaire, où $A:I\to\mathcal M_n(\mathbb R)$ est une fonction continue. Soit $(u_1,\dots,u_n)$ un système fondamental de solutions, c'est-à-dire que $(u_1,\dots,u_n)$ est une base de l'espace vectoriel des solutions. On appelle matrice fondamentale associée à ce système de solutions la fonction $t\in I\mapsto M(t)$ où la matrice $M(t)$ a pour colonnes les coordonnées des vecteurs $u_1(t),\dots,u_n(t)$ . En particulier, on a $u_i(t)=M(t)e_i$, avec $(e_1,\dots,e_n)$ la base canonique de $\mathbb R^n.$

Les principales propriétés vérifiées par les matrices fondamentales sont données dans la proposition suivante :

Proposition :
  • Toute matrice fondamentale est inversible et on a les formules suivantes :

    $$\forall i\in\{1,\dots,n\},\ \forall (t,t_0)\in I^2,\ u_i(t)=M(t)(M(t_0))^{-1}u_i(t_0)$$ $$\forall (t,t_0)\in I^2,\ X(t)=M(t)(M(t_0))^{-1}X(t_0)$$ avec $X$ une solution quelconque de l'équation différentielle.
  • Si $t\mapsto M_1(t)$ et $t\mapsto M_2(t)$ sont deux matrices fondamentales, il existe une matrice constante $Q_{2,1}$ inversible telle que, pour tout $t\in I$, $$M_1(t)=M_2(t)Q_{2,1}.$$
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