Matrice fondamentale
Soit $X'(t)=A(t)X(t)$ un système différentiel linéaire, où $A:I\to\mathcal M_n(\mathbb R)$ est une fonction continue. Soit $(u_1,\dots,u_n)$ un système fondamental de solutions, c'est-à-dire que $(u_1,\dots,u_n)$ est une base de l'espace vectoriel des solutions. On appelle matrice fondamentale associée à ce système de solutions la fonction $t\in I\mapsto M(t)$ où la matrice $M(t)$ a pour colonnes les coordonnées des vecteurs $u_1(t),\dots,u_n(t)$ . En particulier, on a $u_i(t)=M(t)e_i$, avec $(e_1,\dots,e_n)$ la base canonique de $\mathbb R^n.$
Les principales propriétés vérifiées par les matrices fondamentales sont données dans la proposition suivante :
Proposition :
- Toute matrice fondamentale est inversible et on a les formules suivantes : $$\forall i\in\{1,\dots,n\},\ \forall (t,t_0)\in I^2,\ u_i(t)=M(t)(M(t_0))^{-1}u_i(t_0)$$ $$\forall (t,t_0)\in I^2,\ X(t)=M(t)(M(t_0))^{-1}X(t_0)$$ avec $X$ une solution quelconque de l'équation différentielle.
- Si $t\mapsto M_1(t)$ et $t\mapsto M_2(t)$ sont deux matrices fondamentales, il existe une matrice constante $Q_{2,1}$ inversible telle que, pour tout $t\in I$, $$M_1(t)=M_2(t)Q_{2,1}.$$
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