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Bibm@th

Mesure de Mahler

Soit $P$ un polynôme de $\mathbb C[X]$, qui se factorise en $$P(z)=a\prod_{i=1}^n (z-\alpha_i).$$ On appelle mesure de Mahler de $P$ le réel $$M(p)=|a|\prod_{i=1}^n \max(1,|\alpha_i|).$$ Par la formule de Jensen, on prouve que l'on a aussi $$M(p)=\exp\left(\int_0^1 \ln(|P(e^{2\pi i\theta})|)d\theta\right).$$ Par extension, la mesure de Mahler d'un nombre algébrique $\alpha$ est la mesure de Mahler de son polynôme minimal sur $\mathbb Q$.

Une conjecture importante de la théorie des nombres est liée à la mesure de Mahler. En effet, Kronecker a prouvé qu'un nombre algébrique est une racine de l'unité si et seulement si sa mesure de Mahler est $1$. La conjecture de Lehmer est qu'il existe une constante $\mu>1$ telle que, pour tout nombre algébrique qui n'est pas une racine de l'unité, ou de façon équivalente pour tout polynôme irréductible à coefficients entiers qui n'est pas un polynôme cyclotomique, sa mesure de Mahler est supérieure ou égale à $\mu$.

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