L'interaction proies/prédateurs
Le biologiste Ancona constata que, pendant la première guerre mondiale, la baisse de la pêche avait favorisé plutôt les prédateurs que les proies chez les poissons. Son collègue mathématicien Volterra proposa une explication à ce phénomène. On note $N(t)$ le nombre de proies, et $P(t)$ le nombre de prédateurs, au cours du temps. Volterra propose le modèle suivant pour l'évolution des populations : $$\left\{ \begin{align*} N'(t)&=aN(t)-bN(t)P(t)\\ P'(t)&=cN(t)P(t)-dP(t) \end{align*}\right.$$ avec $a,b,c,d$ des réels positifs. Les termes $aN(t)$ et $-dP(t)$ sont des termes d'évolution des populations en absence d'interaction. On suppose que les proies ont une ressource extérieure abondante (type plancton), et leur reproduction donne un accroissement de la population : $aN(t).$ Les prédateurs se nourissent simplement de proies : en leur absence, ils ont tendance à disparaître, d'où le terme en $-dP(t).$ Les autres termes sont des termes correctifs, pour tenir compte de l'interaction. Plus il y a de proies et de prédateurs, plus de proies vont être mangées, et plus leur nombre aura tendance à diminuer.
On prouve alors les résultats suivants :
- Aucune des 2 espèces ne s'éteint ni ne prolifère à l'infini.
- l'évolution est périodique : au bout d'un certain temps, on revient à la population initiale.
On a le diagramme d'évolution suivant (tracé pour $a=b=1$, $c=d=0.3$) :
(il faut comprendre que la population des proies est donnée en abscisse, la population des prédateurs en ordonnée - les courbes représentent, pour 2 valeurs initiales différentes, le couple (population proies,population prédateur) au cours du temps).
On a donc, en l'absence d'un prédateur extérieur, un système stable. S i maintenant apparait un prédateur extérieur sur les deux espèces, le modèle devient : $$\left\{ \begin{align*} N'(t)&=aN(t)-bN(t)P(t)-kN(t)\\ P'(t)&=cN(t)P(t)-dP(t)-kP(t). \end{align*}\right.$$ On prouve alors que, au cours d'une période, le nombre moyen de proies augmente, quand le nombre moyen de prédateurs diminue.