Courbe de concentration de Lorenz
La courbe de concentration de Lorenz est un moyen de représenter la fonction de répartition d'une variable aléatoire $X.$ Elle est notamment utilisée en économie pour mesurer les inégalités de possession de richesse (on supposera donc que $X$ représente un certain bien possédé par les individus de la population). Elle est fabriquée de la façon suivante. Soit $x$ une valeur prise par $X.$ On note $F(x)=P(X\leq x)$ la proportion de la population pour laquelle $X\leq x$ ($F$ est donc la fonction de répartition de $X$). On note $FQ(x)$ la proportion du bien possédé par ces individus par rapport au bien total. Alors la courbe de Lorenz est la courbe joignant tous les points $(F(x),FQ(x)).$
La courbe de Lorenz a donc pour extrémités les points $(0,0)$ et $(1,1).$ Elle est située sous le segment joignant ces deux points. Le point $(0,\!3;0,\!1)$ de la courbe doit être interprété de la façon suivante : "les 30% les moins riches de la population possèdent 10% de la population totale".
Si la variable $X$ ne prend qu'une seule valeur (c'est-à-dire que dans ce cas il n'y a pas de différences dans la population), alors la courbe de Lorenz est exactement le segment joignant $(0,0)$ à $(1,1)$ : c'est la ligne d'égalité parfaite. A l'inverse, si X prend les deux valeurs $0$ et $1,$ avec une seule personne possédant $1$ et toutes les autres possédant $0$ (cas d'inégalité extrême), alors la courbe de Lorenz joint les points $(0,0)$ à $(1,0),$ puis $(1,0)$ à $(1,1)$ : c'est la ligne de parfaite inégalité. De façon générale, plus la courbe "colle" à la ligne de parfaite égalité, plus la société est égalitaire. Le coefficient de Gini permet de quantifier cela.
Ex : Dans une entreprise de 100 personnes, on a relevé les salaires suivants :
| Salaires : | 1000-1200 | 1200-1500 | 1500-2000 | 2000-3000 | 3000-5000 | 5000-10000 |
| Effectif : | 50 | 20 | 10 | 8 | 7 | 5 |
Pour obtenir la courbe de Lorenz, on commence par calculer le bien possédé total. On prend le milieu des classes comme référence.
\begin{align*} B=&50×1100+20×1350+10×1750+8×2500+7×4000+5×7500\\ &=185000 \end{align*}On cherche ensuite les points de la courbe.
- $x=1100$, $F(x)=0,\!5;$ $FQ(x)=(50×1100)/185000=0,\!3$
- $x=1250$, $F(x)=0,\!7;$ $FQ(x)=(50×1100+20×1350)/185000=0,\!44$
- $x=1750$, $F(x)=0,\!8;$ $FQ(x)=0,\!54$
- $x=2500$, $F(x)=0,\!88;$ $FQ(x)=0,\!65$
- $x=4000$, $F(x)=0,\!95;$ $FQ(x)=0,\!8$
- $x=7500$, $F(x)=1;$ $FQ(x)=1$
On obtient donc la courbe :
La courbe de Lorenz est due à l'économiste américain
Max Otto Lorenz (en 1905), qu'il ne faut pas confondre avec le physicien Hendryk Lorentz.