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Loi d'une variable aléatoire

Loi d'une variable aléatoire discrète

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb N$. Alors on appelle loi de $X$ la donnée de la suite $(p_n)_{n\in\mathbb N}$ définie par $p_n=P(X=n)$.

Exemple : On lance deux dés bien équilibrés, et on note $X$ le nombre de 6 obtenus. On a $X(\Omega)=\{0,1,2\}$. Déterminer la loi de probabilité de $X$ revient à déterminer $P(X=0)$, $P(X=1)$ et $P(X=2)$. Sur les 36 lancers équiprobables (en distinguant les deux dés), 25 n'amènent aucun 6, 10 en amène 1 et 1 en amène 2. On a donc trouvé que la loi de $X$ est : $$P(X=0)=\frac{25}{36},\ P(X=1)=\frac{10}{36},\ P(X=2)=\frac 1{36}.$$

Loi d'une variable aléatoire - cas général

Soit $(\Omega,\mathcal A,P)$ un espace probabilisé, et $X$ une variable aléatoire sur $(\Omega,\mathcal A,P)$. On appelle loi de $X$ (ou loi de probabilité de X) la fonction $P_X$ qui à toute partie $I$ de $\mathbb R$ qui peut s'écrire comme réunion dénombrable d'intervalles associe : $$P_X(I)=P(X\in I)=P(\{\omega:\ X(\omega)\in I\}).$$ La fonction $P_X$ est une probabilité sur $\mathbb R$.

Dans la définition précédente, si on connait un peu de théorie de la mesure, on peut prendre pour $I$ n'importe quel borélien de $\mathbb R$.

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