$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Dictionnaire de mathématiques > Probabilité et statistiques > Probabilités > Lois discrètes >

Loi uniforme discrète

Soit $\{x_1,\dots,x_N\}$ une partie de $\mathbb R$ à $N$ éléments. Une variable aléatoire $X:\mathcal \Omega\to\mathbb R$ suit une loi uniforme sur $\{x_1,\dots,x_N\}$ si :

  1. $X(\Omega)=\{x_1,\dots,x_N\}$.
  2. $P(X=x_1)=\cdots=P(X=x_N)=\frac 1N$.

La variable aléatoire $X$ admet alors une espérance et une variance données par : $$E(X)=\frac{x_1+\cdots+x_N}N\textrm{ et }V(X)=\frac{x_1^2+\cdots+x_N^2}N-(E(X))^2.$$

Ex : Une urne contient $n$ boules numérotées de 1 à $n$. On tire une boule au hasard, et on note $X$ la variable aléatoire égale au chiffre obtenu. Alors $X$ suit une loi uniforme sur $\{1,...,n\}$ (ce que l'on note $X\hookrightarrow\mathcal U(n)$). Dans ce cas, on a : $$E(X)=\frac{n+1}2\textrm{ et }V(X)=\frac{n^2-1}{12}.$$

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