Loi de Student

Une variable aléatoire $X$ suit la loi de Student à $n$ degrés de liberté si elle est absolument continue et admet pour densité : $$f(x)=\frac1{\sqrt{n\pi}}\frac{\Gamma(\frac{n+1}2)}{\Gamma(\frac n2)}\left(1+\frac{x^2}n\right)^{-\frac{n+1}2}.$$

Courbe représentative de la densité :

Application : La loi de Student intervient dans les tests de comparaison de deux espérances en raison de la propriété fondamentale suivante : si $X_1,\dots,X_n$ sont des variables aléatoires indépendantes suivant une loi normale de même espérance $m$ et de même variance, si $$M_n=\frac1n\sum_{k=1}^n X_i$$ est la variable aléatoire qui estime l'espérance et si $$S_n^2=\frac1{n-1}\sum_{k=1}^n (X_k-M_n)^2$$ est la variable aléatoire "estimateur débiaisé" de la variance, alors $$\frac{M_n-m}{\frac{S_n}{\sqrt n}}$$ suit une loi de Student à $(n-1)$ degrés de liberté.