Loi de Poisson
Soit $\lambda>0.$ On dit qu'une variable aléatoire $X$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda,$ ce que l'on note $X\hookrightarrow \mathcal P(\lambda)$ si :
- $X(\Omega)=\mathbb N.$
- Pour tout $k\geq 0,$ $P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}.$
$X$ admet alors une espérance et une variance $$E(X)=\lambda\textrm{ et }V(X)=\lambda.$$
Signification : La loi de Poisson est la loi des phénomènes rares, de petite probabilité. Par exemple :
- Soit $X$ la variable aléatoire du nombre de personnes réservant un billet d'avion pour Berlin le 6 février à 9H30. $X$ suit en théorie une loi binomiale dont l'effectif est très grand - tous les clients potentiels, des millions, et le paramètre $p$ est très petit - la probabilité pour qu'un individu choisi au hasard ait envie de se rendre à Berlin le 6 février par le vol de 9H30. On approxime en général la loi de $X$ par la loi de Poisson de paramètre $np.$
- Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'appels reçus par un standard téléphonique dans un intervalle de temps $[0,T]$ : la loi de $X$ est une loi de Poisson.
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