Loi de Gumbel

On dit que $X$ suit la loi de Gumbel de paramètres $a$ et $b$ si sa fonction de répartition vaut : $$F(x)=\exp(-\exp(-(x-a)/b)).$$ $X$ admet alors une espérance et une variance données par $$E(X)=a+b\gamma\textrm{ et }V(X)=\frac{\pi^2 b^2}{6}$$ où $\gamma\simeq0,\!5772$ est la constante d'Euler. La densité de probabilité de $X$, obtenue par dérivation, est $$f(x)=\frac 1b\exp\left(-\exp\left(-\frac{x-a}b\right)\right)\exp\left(-\frac{x-a}b\right).$$

Courbe représentative de la densité pour a=0, b=1:

Signification : La loi de Gumbel est très utilisée en hydrologie et en climatologie pour estimer les valeurs extrêmes de phénomènes. Ainsi, si des variables aléatoires indépendantes suivent une loi normale centrée, leur maximum suit approximativement, pour $n$ grand, une loi de Gumbel de paramètres $$a=\sqrt{2\ln(n)}\textrm{ et }b=\frac1{\sqrt{2\ln(n)}}.$$

Exemple : (d'après F.Dress, Probabilités et Statistiques de A à Z, Dunod)

On considère la variable aléatoire $X$ égale à la moyenne sur le mois d'août des températures journalières maximales dans une ville donnée. On suppose que $X$ suit approximativement une loi normale d'espérance $m$ et d'écart-type $s$. Quelle est la valeur que le maximum de $X$ sur 50 années consécutives risque de dépasser avec une probabilité de $0,\!5?$
$$a=\sqrt{2\ln(50)}\textrm{ et }b=\frac{1}{\sqrt{2\ln(50)}}$$ et on résout l'équation $F(x)=0,\!5$ dont une solution approchée est $x=2,\!93.$ Ceci donnerait la solution dans le cas d'une loi normale centrée réduite. La réponse pour notre problème, obtenue en renormalisant, est $m+2,\!93s.$ Si, par exemple $m=26°$ et $s=2°,$ avec une probabilité de $1/2,$ la température moyenne observée au cours d'un mois d'août durant 50 ans excèdera $31,9°.$