Loi gamma

On dit que la variable aléatoire $X$ suit la loi gamma de paramètres $p>0$ et $\lambda>0$, notée $\Gamma(p,\lambda)$, si elle admet pour densité $$f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{\lambda}{\Gamma(p)}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{p-1}&\textrm{si }x>0\\ 0&\textrm{sinon.} \end{array}\right.$$

Une telle variable aléatoire $X$ admet alors une espérance et une variance donnés par $$E(X)=\frac p\lambda\textrm{ et }V(X)=\frac p{\lambda^2}$$ tandis que sa fonction caractéristique est $$\phi_X(t)=\left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)^p.$$

Courbe représentative de la densité (cas $p=2$ et $\lambda=1$) :

Signification : La durée de vie d'un appareil ou d'un organisme suit souvent, quand le vieillissement intervient et donc que le taux de défaillance augmente, une loi $\Gamma(p,\lambda)$ avec $p>1$. Remarquons que la loi $\Gamma(1,\lambda)$ n'est autre que la loi exponentielle $\mathcal E(\lambda)$ qui s'utilise pour modéliser des durées de vie sans vieillissment.

Lorsque $p$ est un entier, la loi gamma s'appelle encore loi d'Erlang. La loi d'Erlang de paramètre $p$ et $\lambda$ est la loi de la somme de $p$ variables aléatoires indépendantes suivant une même loi exponentielle de paramètre $\lambda$. A ce titre, elle est la loi du temps d'attente séparant la survenue des événements $k$ et $k+p$ dans un processus poissonien, par exemple une succession de pannes à taux de défaillance constant.

Lorsque $p=n/2$ et $\lambda=1/2,$ on retrouve la loi du khi-deux à $n$ degrés de liberté, c'est-à-dire la loi de la somme des carrés de $n$ variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi normale.