Loi exponentielle

On dit qu'une variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda>0,$ ce que l'on note $X\hookrightarrow \mathcal E(\lambda)$ si elle admet pour densité $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \lambda e^{-\lambda x}&\textrm{si }x\geq 0\\ 0&\textrm{sinon.} \end{array}\right.$$ $X$ admet alors une espérance et une variance données par $$E(X)=\frac 1\lambda\textrm{ et }V(X)=\frac 1{\lambda^2}.$$

Courbe représentative de la densité :

Exemple : La loi exponentielle est la version continue de la loi géométrique. Elle sert souvent à modéliser la durée de vie, d'une ampoule comme d'un atome radioactif. L'hypothèse est qu'il n'y a pas de vieillissement car, si $X$ suit une loi exponentielle et si $s,t>0,$ alors $$P(X>s+t|X>s)=P(X>t).$$