Loi binomiale
On dit qu'une variable aléatoire $X:(\Omega,P)\to\mathbb R$ suit une loi binomiale de paramètres $n\geq 1$ et $p\in[0,1],$ ce que l'on note $X\hookrightarrow \mathcal B(n,p)$ si :
- $X$ prend ses valeurs dans $\{0,\dots,n\}$.
- Pour tout $k$ dans $\{0,\dots,n\}$, on a $P(X=k)=\binom nk p^k (1-p)^{n-k}$.
X admet alors une espérance et une variance données par $$E(X)=np\textrm{ et }V(X)=np(1-p).$$
Exemples :
- On effectue, de façon indépendante, $n$ fois la même épreuve aléatoire dont la probabilité de succès est $p.$ Si $X$ est la variable aléatoire qui vaut le nombre de succès, $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p.$
- Une urne contient $N_1$ boules blanches et $N_2$ boules noires. On effectue une série de $n$ tirages avec remise, et on note $X$ le nombre de boules blanches obtenues. En notant $\displaystyle p=\frac{N_1}{N_1+N_2},$ $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p.$
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