Fonction et suite logistique

On appelle fonction logistique la fonction définie sur $[0,1]$ par $f(x)=px(1-x)$, où $p$ est un paramètre réel. En général, on impose à $p$ d'être compris entre 0 et 4 afin que l'image de $f$ soit contenue dans le segment $[0,1]$.

Une suite logistique est une suite récurrente définie par $u_0\in [0,1]$, et $u_{n+1}=f(u_n)$, où $f$ est la fonction logistique. Cette suite intervient en dynamique des populations. $u_n$ représente le rapport entre l'effectif de la population au temps $n$ et l'effectif maximum théorique de la population. La modélisation par la fonction logistique tient compte de deux contraintes : le facteur $kx$ permet de prendre en compte l'accroissement naturel de cette population. Le facteur $(1-x)$ indique lui que si la population est trop nombreuse, les ressources naturelles lui manquent, et elle a tendance à diminuer.

Bien que la suite logistique semble très simple, elle peut suivant les valeurs de $p$ avoir un comportement très étrange, et même mener au chaos! Pour en savoir plus, consulter le lien ci-dessous à propos du diagramme de bifurcation de Feigenbaum.

Cette loi pour décrire l'évolution d'une population peut paraitre simpliste. Elle a été proposée par un mathématicien belge, Paul-François Verhulst, au XIXè siècle, et elle rend assez bien compte de certains phénomènes. Il ne faut pas oublier que plus une équation est difficile, plus son étude sera complexe!