Logarithme intégral

On appelle logarithme intégral la fonction définie sur $]1,+\infty[$ par $$\textrm{Li}(x)=\int_2^x\frac{dt}{\ln(t)}.$$ Cette fonction est équivalente, en l'infini, à $x/\ln(x)$. Elle est très importante en théorie des nombres. Notons $P(x)$ le nombre de nombre premiers inférieurs ou égaux à $x$. Répondant à une conjecture de Legendre et Gauss, Hadamard et De La Vallée Poussin ont prouvé en 1896 que $P(x)$ est équivalent à $x/\ln(x)$ donc à $\textrm{Li}(x)$. De plus, le logarithme intégral apparaît dans le développement asymptotique suivant : $$P(x)=\textrm{Li}(x)+O\left(xe^{-\frac{\sqrt{\ln x}}{15}}\right).$$ Par ailleurs, Littlewood a prouvé que la fonction $P(x)-\textrm{Li}(x)$ change de signe une infinité de fois.

La définition du logarithme intégral peut éventuellement varier d'une constante. Dans les ouvrages américains, on le définit le plus souvent par $$\textrm{Li}(x)=\int_0^x\frac{dt}{\ln(t)}.$$ Cette définition a l'avantage de fonctionner aussi pour $x\in ]0,1[$, mais pour $x>1$, il faut comprendre l'intégrale comme une valeur principale : $$\textrm{Li}(x)=\lim_{\varepsilon\to 0}\left(\int_0^{1-\varepsilon}\frac{dt}{\ln(t)}+\int_{1+\varepsilon}^x\frac{dt}{\ln(t)}\right).$$