Logarithmiquement convexe
Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ et à valeurs dans $\mathbb R_+^*$ est dite logarithmiquement convexe si la fonction $\ln(f)$ est convexe. Toute fonction logarithmiquement convexe est convexe (la réciproque est fausse...). Par exemple, la fonction $x\mapsto \exp(x^2)$ est logarithmiquement convexe. Un autre exemple est la fonction gamma d'Euler. En revanche, la fonction $x\mapsto x^2$ est convexe sans être logarithmiquement convexe.
Théorème : Soit $f:I\to ]0,+\infty[$. Alors les assertions
suivantes sont équivalentes :
- $f$ est logarithmiquement convexe.
- pour tout $\alpha>0,$ $f^\alpha$ est convexe.
- pour tout $a\in\mathbb R,$ $x\mapsto e^{ax}f(x)$ est convexe.
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