Localisation dans un anneau commutatif
La localisation dans un anneau commutatif $A$ est une opération qui consiste à construire un anneau contenant $A$ et dans lequel tous les éléments d'une partie $S$ sont inversibles. C'est un cadre plus général que la construction du corps des fractions de $A$.
On considère donc $S$ une partie de $A$ ne contenant pas $0$ et telle que $1\in S$ et $ab\in S$ dès que $a\in S$ et $b\in S.$ On définit sur $A\times S$ la relation suivante : $$(a,s)\sim (b,t)\iff \exists r\in S,\ r(ta-bs)=0.$$ Alors $\sim$ définit une relation d'équivalence sur $A\times S$. On note $S^{-1}A$ l'ensemble quotient et la classe d'équivalence de $(a,s)$ est notée $\frac as.$ On définit sur $S^{-1}A$ les opérations $+$ et $\times$ par $$\frac as+\frac{a'}{s'}=\frac{as'+a's}{ss'}\textrm{ et }\frac as\times\frac{a'}{s'}=\frac{aa'}{ss'}.$$ Alors $(S^{-1}A,+,\times)$ est un anneau qu'on appelle anneau des fractions de $A$ associé à $S$. L'application $i_S:A\to S^{-1}A,\ a\mapsto \frac a1$ est un morphisme d'anneaux et pour tout $s\in S,$ $i_S(s)=s/1$ est inversible dans $S^{-1}A$ d'inverse $1/s$. Ce morphisme canonique $i_S$ est injectif si et seulement si $S$ ne contient pas de diviseur de zéro. Il est bijectif si et seulement si tout élément de $S$ est inversible dans $A.$
Le localisé de $S$ en $A$ et l'application $i_S$ vérifient la propriété universelle suivante : pour tout morphisme d'anneaux $f:A\to B$ tel que $f(S)\subset B^\times,$ alors il existe un unique morphisme d'anneaux $g:S^{-1}A\to B$ tel que $f=g\circ i_S.$ Ici, $B^\times$ désigne l'ensemble des éléments inversibles de $B.$
Exemples :
- Si $A=\mathbb Z$ et $S=\{10^n:\ n\geq 0\}$. Alors $S^{-1}A$ est l'anneau des nombres décimaux.
- Si $S=A\backslash P$ où $P$ est un idéal premier de $A,$ l'anneau $S^{-1}A$ est un anneau local d'idéal maximal $S^{-1}P.$ On l'appelle localisé de $A$ en $P$ et on le note $A_P.$ Si $A$ est noethérien, il est lui aussi noethérien. Si $A$ est un anneau de Dedekind et $P$ un idéal premier non nul, $A_P$ est même un anneau de valuation discrète car il est de plus principal.
- Si $A$ est intègre et si $S=A\backslash\{0\}$, alors $S^{-1}A$ est le corps des fractions de $A.$
- Les éléments réguliers (c'est-à-dire non diviseurs de zéro) forment une partie multiplicative $S$ ; l'anneau $S^{-1}A$ est alors l'anneau total des fractions de $A$ ; l'homomorphisme de localisation dans ce cas-là est injectif.
- Soit $f$ un élément de $A.$ L'ensemble $S$ réunion de $\{1\}$ et des puissances positives $f^n$, $n>0$, est une partie multiplicative de $A.$ Le localisé de $A$ par rapport à cette partie multiplicative est noté $A_f.$ Remarquons que $A_f$ est l'anneau nul si et seulement si $f$ est nilpotent. Lorsque $A$ est intègre, $A_f$ est l'ensemble des fractions qui peuvent s'exprimer comme le quotient d'un élément de $A$ par une puissance positive de $f.$