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Localement convexe

Un espace vectoriel topologique est dit localement convexe si chaque point a une base de voisinages convexes (autrement, si pour tout voisinage $V$ de $x$, il existe un ouvert $U$ inclus dans $V$ et contenant $x$ qui est de plus convexe). On peut prouver qu'un espace vectoriel localement convexe $E$ est un espace vectoriel dont la topologie est définie par une famille de semi-normes. De plus, si la famille de semi-normes est dénombrable, disons $(\mathcal P_n)_{n\in\mathbb N}$, et si les semi-normes séparent les points, alors il existe une distance $d$ définissant la topologie de $E$. Cette distance $d$ peut être définie par $$d(x,y)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\min(1,\mathcal P_n(x-y))}{2^n}.$$

L'un des intérêts des espaces localement convexes est que le théorème d'Hahn-Banach y est vrai. Ils possèdent donc de nombreuses formes linéaires continues.

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