Fonction lipschitzienne

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$, $f:I\to\mathbb R$ et $k\in\mathbb R_+.$ On dit que $f$ est lipschitzienne de rapport $k$ si pour tous $x,y\in I$, $$|f(x)-f(y)|\leq k |x-y|.$$ La fonction est dite contractante si on peut choisir $k<1.$

Les fonctions lipschitziennes possèdent de nombreuses propriétés intéressantes. Par exemple, une application lipschitzienne est uniformément continue, donc continue. Les fonctions lipschitziennes sont aussi fortement liées aux fonctions dérivables. D'une part, d'après le théorème des accroissements finis, une fonction dérivable sur $I$ est lipschitzienne sur $I$ si et seulement sa dérivée est bornée sur $I.$ En particulier, une fonction de classe $\mathcal C^1$ sur un segment est lipschitzienne sur ce segment. D'autre part, les fonctions lipschitziennes sont dérivables en de nombreux points. C'est un résultat subtil appelé théorème de Rademacher :

On peut même être un peu plus précis et démontrer qu'une fonction lipschitzienne est absolument continue, donc à variations bornées, ce qui entraîne le théorème de Rademacher.

On peut aussi définir une fonction lipschitzienne de rapport $k\geq 0$ entre deux espaces métriques $(E,d)$ et $(F,\delta)$, la condition à vérifier étant $$\delta(f(x),f(y))\leq k \big(d(x,y)\big).$$ Lorsque $k<1$ (cas des fonctions contractantes), on peut lui appliquer le théorème du point fixe de Banach-Picard, à condition que $E=F$ soit un espace métrique complet.

Le théorème de Rademacher peut alors être étendu en disant qu'une fonction $f:U\to\mathbb R^m,$ où $U$ est un ouvert de $\mathbb R^n,$ lipschitzienne sur $U,$ est différentiable en presque tout point de $U$ (toujours pour la mesure de Lebesgue).