Théorème de Liouville
Théorème : Si $f$ est une fonction holomorphe et bornée sur $\mathbb C$, alors $f$ est constante.
Une des applications les plus classiques du théorème de Liouville est la démonstration du théorème de d'Alembert-Gauss : tout polynôme à coefficients complexes non constant admet une racine dans $\mathbb C$. Soit en effet $P$ un tel polynôme et supposons que $P$ ne s'annule pas. On pose $f=1/P$. Puisque $P$ ne s'annule pas, $f$ est holomorphe sur $\mathbb C$; en outre, $f$ est bornée. En effet, si $|z|$ tend vers l'infini, il est clair que $|f(z)|$ tend vers 0, donc il existe $M$ tel que $|f(z)|\leq 1$ si $|z|>M.$ D'autre part $f$ est bornée sur tout compact, en particulier sur l'ensemble des $z$ avec $|z|\leq M$. Il en résulte, d'après le théorème de Liouville, que $f$ est constante, ce qui est absurde!
Ce théorème a été énoncé par Joseph Liouville devant l'Académie des Sciences en 1844 sous la forme suivante :
une fonction doublement périodique uniforme et bornée dans tout le plan est constante.
Consulter aussi
Recherche alphabétique
Recherche thématique