Groupe linéaire et spécial linéaire
Si $E$ est un espace vectoriel, le groupe linéaire de $E$, ou groupe général linéaire est l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $E$ qui sont inversibles. C'est un groupe pour la composition des applications linéaires et on le note $GL(E).$
Si $\mathbb K$ est un corps et $n$ un entier supérieur ou égal à $1$, on parle aussi du groupe linéaire d'indice $n$ sur $\mathbb K$ pour désigner l'ensemble des matrices de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ inversibles. Ce groupe est alors noté $GL_n(\mathbb K).$
Le groupe spécial linéaire est le sous-groupe du groupe linéaire constitué des endomorphismes (resp. des matrices) de déterminant exactement égal à 1. Il est noté $SL_n(\mathbb K).$ C'est un sous-groupe distingué de $GL_n(\mathbb K).$
Le groupe linéaire et le groupe spécial linéaire possèdent les propriétés suivantes :
- le centre de $GL(E)$ est constitué des homothéties $x\mapsto\lambda x$ avec $\lambda\in\mathbb K^*;$ il est donc isomorphe à $\mathbb K^*.$
- le centre de $SL_n(\mathbb K)$ est isomorphe à $\{\mu\in\mathbb K:\ \mu^n=1\}.$
- les dilatations et les transvections engendrent $GL_n(\mathbb K),$ et les transvections engendrent $SL_n(\mathbb K).$
Ils possèdent aussi les propriétés topologiques suivantes (on suppose $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$ et $n\geq 2$) :
- L’ensemble $SL_n(\mathbb K)$ est une partie fermée, d’intérieur vide, non bornée et connexe par arcs de $\mathcal M_n(\mathbb K).$
- L’ensemble $GL_n(\mathbb K)$ est une partie ouverte, dense et non bornée de $\mathcal M_n(\mathbb K).$
- L’ensemble $GL_n(\mathbb C)$ est connexe par arcs.
- L’ensemble $GL_n(\mathbb R)$ n’est pas connexe. Ses deux composantes connexes sont les ensembles $GL^+_n (\mathbb R)$ et $GL^−_n (\mathbb R)$ où $GL^+_n (\mathbb R) = \{M \in GL_n(\mathbb R) :\ \det(M) > 0\},$ $GL^-_n (\mathbb R) = \{M \in GL_n(\mathbb R) : \det(M) < 0\}.$