Algèbre de Lie

Un champ de vecteurs sur un groupe de Lie $G$ est dit invariant à gauche s'il commute avec les translations à gauche. Précisément, si $X$ est un champ de vecteurs sur $G,$ il est invariant à gauche si pour tous $g,x$ de $G,$ $X(g\cdot x)=g\cdot X(x).$

L'ensemble des champs de vecteurs invariant à gauche sur un groupe de Lie $G$ forme une algèbre, appelée algèbre de Lie associée à $G.$ L'étude de cette algèbre apporte beaucoup de lumière sur la structure du groupe de Lie lui-même.

On peut donner une définition formelle à une algèbre de Lie sans faire référence aux notions de groupe de Lie. On appelle algèbre de Lie sur le corps $\mathbb K$ tout espace vectoriel $E$ sur $\mathbb K$ muni d'une application bilinéaire $(x,y)\mapsto [x,y]$ vérifiant les propriétés suivantes :

Par exemple, si $E=\mathcal M_n(\mathbb K)$ est l'espace des matrices carrées d'ordre $n,$ $E$ peut être muni d'une structure d'algèbre de Lie en posant $[A,B]=AB-BA.$