Familles dans un espace vectoriel
On considère dans toute la suite $E$ un espace vectoriel. Soit $(V_1,\dots,V_n)$ une famille de vecteurs de l'espace vectoriel. On dit que la famille $(V_1,\dots,V_n)$ est :
- liée s'il existe des scalaires $a_1,\dots,a_n$, qui ne sont pas tous nuls, tels que $a_1V_1+\cdots+a_n V_n=0$.
- libre si elle n'est pas liée. Autrement dit, la famille $(V_1,\dots,V_n)$ est libre si, dès qu'on a une égalité $a_1V_1+\cdots+a_n V_n=0$, alors nécessairement $a_1=\cdots=a_n=0$. On dit encore que les vecteurs $V_1,\dots,V_n$ sont linéairement indépendants.
- génératrice si tout vecteur $V$ de l'espace $E$ est une combinaison linéaire des vecteurs $V_1,\dots,V_n$ : il existe des scalaires $a_1,\dots,a_n$ tels que $V=a_1V_1+\cdots+a_n V_n.$
- une base si elle est à la fois une famille libre et génératrice. Ceci entraîne que l'écriture de $V$ comme combinaison linéaire de $V_1,\dots,V_n$ est unique.
Exemples :
- Dans $\mathbb R^3$, la famille constituée de $V_1=(1,0,0)$ et de $V_2=(1,1,0)$ est libre : si $a_1 V_1+a_2V_2=0$, on regarde coordonnées par coordonnées, pour trouver que $a_1+a_2=0$ et que $a_2=0$. Ceci donne immédiatement $a_1=a_2=0$. En revanche, cette famille n'est pas génératrice : en effet, le vecteur $(0,0,1)$ ne peut pas s'obtenir comme combinaison linéaire de $V_1$ et $V_2$.
- Dans $\mathbb R^3$, la famille constituée de $V_1=(1,0,0)$, de $V_2=(1,1,0)$, de $V_3=(1,1,1)$ et de $V_4=(0,0,1)$ est liée : on a en effet $V_3=V_2+V_4$. C'est en revanche une famille génératrice : si $(x,y,z)$ est un vecteur de $\mathbb R^3$, il se décompose en $y V_2+(x-y) V_1+ z V_4$.
- Dans $\mathbb R^3$, la famille constituée de $V_1=(1,0,0)$, de $V_2=(1,1,0)$, et de $V_4=(0,0,1)$ est une base de $\mathbb R^3$ : nous venons en effet de prouver que c'est une famille génératrice, et on peut aussi facilement prouver que c'est une famille libre.
Dans le cas où les familles sont infinies, une famille sera libre si toute sous-famille finie l'est. Une famille est liée si elle n'est pas libre. Une famille est génératrice si tout vecteur de l'espace s'écrit comme combinaison linéaire finie des vecteurs de la famille.
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