$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Polynômes de Legendre

Les polynômes de Legendre sont les polynômes définis par : $$L_n(X)=\frac{1}{2^nn!}\left((X^2-1)^n\right)^{(n)}.$$ Le polynôme $L_n$, étant la dérivée $n-$ième d'un polynôme de degré $2n$, est donc de degré $n$. Les premiers termes sont : \begin{align*} L_0(x)&=1\\ L_1(x)&=x\\ L_2(x)&=\frac 12(3x^2-1)\\ L_3(x)&=\frac 12(5x^3-3x)\\ L_4(x)&=\frac 18(35x^4-30x^2+3)\\ L_5(x)&=\frac 18(63x^5-70x^3+15x). \end{align*} Les polynômes de Legendre sont orthogonaux pour le produit scalaire $$\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1 P(t)Q(t)dt$$ mais toutefois pas orthonormaux car $$\langle L_n,L_n\rangle=\frac{2}{2n+1}.$$ Comme toute famille de polynômes orthogonaux, les polynômes de Legendre vérifient certaines propriétés:

  • ils sont scindés à racines simples dans $]-1,1[$ (ce qu'on peut aussi prouver à partir de la définition donnée ici et du théorème de Rolle)
  • ils vérifient une relation de récurrence d'ordre 2 : $$(n+1)L_{n+1}-(2n+1)xL_n+nL_{n-1}=0.$$
Par ailleurs, $L_n$ est solution de l'équation différentielle de Legendre : $$(1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0.$$ C'est la seule solution définie au voisinage de 0 qui est continue jusque 1 avec $y(1)=1$.
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