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Théorème de Lax-Milgram

Théorème : Soit $H$ un espace de Hilbert, soit $a:H\times H\to\mathbb R$ une forme bilinéaire (ou une forme sesquilinéaire si $H$ est complexe) continue, et coercive et soit $L$ une forme linéaire continue sur $H$. Alors il existe un unique $u\in H$ tel que $$\forall v\in H,\ a(u,v)=L(v).$$ De plus, si $a$ est symétrique, alors $u$ est caractérisé par la propriété $$\frac 12 a(u,u)-L(u)=\min_{v\in H}\left\{\frac 12 a(v,v)-L(v)\right\}.$$

Le théorème de Lax-Milgram est utilisé dans la résolution des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles écrites sous forme variationnelle. Voici un exemple simple. Définissons $I=]0,1[$ et $H^1(I)$ l'espace de Sobolev des fonctions de $L^2$ admettant une dérivée (au sens des distributions) dans $L^2$. L'espace $H^1(I)$ est un espace de Hilbert muni du produit scalaire $$\langle u,v\rangle_{H^1}=\langle u,v\rangle_{L^2}+\langle u',v'\rangle_{L^2}.$$ On considère alors le problème différentiel suivant : $$\left\{ \begin{array}{ll} -u''+u=f\ \textrm{sur }I\\ u(0)=u(1),\ u'(0)=u'(1). \end{array}\right.$$ Si $u$ est une solution de ce problème, alors par une intégration par parties, on montre que pour tout fonction $v$ suffisamment régulière vérifiant $v(0)=v(1)$, on a $$\int_I u'v'+\int_I uv=\int_I fv.$$ En appliquant le théorème de Lax-Milgram dans $$H=\{v\in H^1(I):\ v(0)=v(1)\}$$ à la forme bilinéaire continue et coercive $$a(u,v)=\int_I u'v'+\int_I uv$$ et à la forme linéaire continue $L(v)=\int_I fv$, on obtient l'existence d'une fonction $u$ solution faible du problème.

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