Transformée de Laplace
Si $f$ est une fonction (localement intégrable), définie sur $\mathbb R_+,$ à valeurs dans $\mathbb C,$ on appelle transformée de Laplace de $f$ la fonction $$\mathcal Lf(z)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-zt}dt,\ z=x+iy.$$ En général, la convergence de l'intégrale n'est pas assurée pour tout $z\in\mathbb C$. On appelle abscisse de convergence absolue ou abscisse de sommabilité de la transformée de Laplace le réel $$\sigma_a(f)=\inf\{\sigma\in\mathbb R:\ \mathcal Lf(\sigma)\textrm{ converge absolument}\}.$$ Éventuellement, on peut avoir $\sigma_a(f)=\pm\infty.$ On montre alors que, si $\Re e(z)>\sigma_a(f),$ l'intégrale $\mathcal Lf(z)$ converge absolument. De plus, $\mathcal Lf$ est alors une fonction holomorphe sur le demi-plan $\{z\in\mathbb C:\ \Re e(z)>\sigma_a(f)\}.$
(resp. 
).
Sous réserve de certaines conditions sur la fonction $f$, on a :
Pour inverser la transformée de Laplace, on utilise en général les tables et les règles précédentes, en lisant de droite à gauche. Par exemple, pour le calcul de l'inverse de la transformée de Laplace d'une fraction rationnelle, on décompose en éléments simples, et on cherche dans les tables.
On dispose aussi du théorème suivant pour inverser la transformée de Laplace.
Cette dernière intégrale se calcule souvent en utilisant le théorème des résidus.
Soit à résoudre, pour $t>0$, $$f^{(3)}(t)+f''(t)+f'(t)+f(t)=te^t$$ avec $f'(0)=f''(0)=f^{(3)}(0)=0$. On suppose que $f$ admet une transformée de Laplace $F$, et on prend la transformée de Laplace de l'équation précédente : $$z^3F(z)+z^2 F(z)+zF(z)+F(z)=\frac1{(z-1)^2}.$$ L'equation différentielle en $f$ se transforme en équation algébrique en $F$. On résout cette équation pour en déduire $F(z)$, et retrouver $f$ par transformée de Laplace inverse! (ce qui n'est pas forcément simple).
La transformation de Laplace a été introduite par le marquis Pierre Simon de Laplace en 1812, dans son ouvrage Théorie analytique des probabilités, afin de caractériser diverses lois de probabilités.Source de l'article : Mathématiques pour la Physique, tome 2, Benoist-Gueutal et Courbage, Eyrolles.