Croissance comparée de fonctions
Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $[a,b[$, $b$ pouvant être réel ou alors $+\infty$. On dit que $f$ est équivalente à $g$ au voisinage de $b$ s'il existe une fonction $h:[a,b[\to\mathbb R$, de limite $0$ en $b$ et telle que, pour tout $x\in[a,b[$, $$f(x)=g(x)\times\big(1+h(x)\big).$$ On note alors $f\sim_b g$. Lorsque la fonction $g$ ne s'annule pas, dire que $f$ et $g$ sont équivalentes en $b$ signifie que le quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ tend vers $1$ lorsque $x$ tend vers $b$.
Exemple : les fonctions $\sin x$ et $x$ sont équivalentes en 0, $\sin x\sim_0 x.$
On dit que $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $b$ s'il existe une fonction $h:[a,b[\to\mathbb R$, de limite $0$ en $b$ et telle que, pour tout $x\in[a,b[$, $$f(x)=g(x)\times h(x).$$ On note $f\ll_bg$, ou encore $f=_bo(g)$, ce qui se lit "$f$ est un petit $o$ de $g$". Lorsque la fonction $g$ ne s'annule pas, prouver que $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $b$ revient à démontrer que le quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $b$.
Exemple :
- la fonction $\ln x$ est négligeable devant $x$ au voisinage de $+\infty$.
- la fonction $x^2$ est négligeable devant $\exp(x)$ au voisinage de $+\infty$.
- plus généralement, le logarithme népérien est négligeable devant toute puissance positive de $x$ au voisinage de $+\infty$; toute puissance de $x$ est négligeable devant $\exp(x)$ au voisinage de $+\infty$.
On dit aussi que $f$ est dominée par $g$ au voisinage de $b$ s'il existe une constante $M$ et un réel $\alpha>0$ tels que, pour tout $x\in[b-\alpha,b[$, $$|f(x)|\leq M|g(x)|.$$ On note alors $f=_bO(g)$, ce qui se lit, $f$ est un grand $O$ de $g$.
En maths, et plus généralement dans les disciplines scientifiques, on a souvent besoin d'étudier la croissance comparée de deux fonctions, c'est-à-dire si l'une est négligeable devant l'autre, si elles sont équivalentes… Par exemple, si $n$ est strictement positif, $\ln x$, $x^n$ et $\exp(x)$ tendent toutes trois vers $+\infty$ si $x$ tend vers $+\infty.$ Mais laquelle croît la plus vite? On peut montrer que, au voisinage de $+\infty,$ $$\ln x\ll x^n\ll e^x.$$ Regardez comme cela se lit bien sur le graphe des fonctions!
Les notations $o$ et $O$ portent le nom de notations de Landau.
Si Landau les utilisa énormément et contribua ainsi à leur popularisation, il semble qu'en réalité elles soient dues à Bachmann.
La notation $\ll$ s'appelle elle notation de Hardy.