$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
\newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}}
\newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}
\newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n}
\newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}}
\newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)}
\newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch}
\DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th}
\DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card}
\DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im}
\DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr}
\DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}}
\newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle}
\newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]}
\newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle}
$$
Bibm@thPolynômes de Laguerre
Les polynômes de Laguerre sont les polynômes définis par :
$$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}h_n^{(n)}(x)\textrm{ avec }h_n(x)=x^ne^{-x}.$$
En particulier, $L_n$ est un polynôme de degré $n$, de coefficient dominant $(-1)^n/n!$. Les premiers polynômes de Laguerre sont
$$\begin{array}{rcl}
L_0(x)&=&1\\
L_1(x)&=&-x+1\\
L_2(x)&=&\frac 12\left(x^2-4x+2\right)\\
L_3(x)&=&\frac 16\left(-x^3+9x^2-18x+6\right).
\end{array}$$
Les polynômes de Laguerre forment une famille orthonormale pour le produit scalaire
$$\langle f,g\rangle=\int_0^{+\infty}f(t)g(t)e^{-t}dt.$$
Ils vérifient une relation de récurrence d'ordre 2 :
$$(n+1)L_{n+1}+(X-2n-1)L_n+nL_{n-1}=0.$$
Par ailleurs, $L_n$ est solution de l'équation différentielle suivante, dite équation de Laguerre :
$$xy''+(1-x)y'+ny=0.$$
Consulter aussi...
Recherche alphabétique
Recherche thématique
