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Test de Kolmogorov, test de Kolmogorov-Smirnov

Test de Kolmogorov

Le test de Kolmogorov est un test qui compare la distribution observée d'un échantillon statistique à une distribution théorique. On l'utilise de préférence au test d'adéquation du chi-deux lorsque le caractère observé peut prendre des valeurs continues. Il est basé sur la comparaison des fonctions de répartition.

  • Données : $n$ observations $(x_1,\dots,x_n)$ d'une variable aléatoire $X.$
  • Hypothèse testée : "La fonction de répartition de $X,$ notée $F,$ est égale à $F_0$" avec risque d'erreur $a.$
  • Déroulement du test :
    1. On ordonne les valeurs observées $x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n.$
    2. On considère la fonction de répartition empirique $F$ définie par $F(x)=0$ pour $x<x_1$, $F(x)=1/n$ si $x_1\leq x <x_2$, ..., $F(x)=i/n$ pour $x_i\leq x<x_{i+1}$, ..., $F(x)=1$ pour $x>x_n$.
    3. On calcule $K=\sup |F(x)-F_0(x)|,$ par la formule $$K=\max_{1\leq j\leq n}\left(\frac jn-F_0(x_j),F_0(x_j)-\frac{j-1}n\right).$$
    4. On lit la valeur critique $D_n$ dans la table de la loi du $\Delta$ de Kolmogorov-Smirnov. Si $K<D_n,$ on accepte l'hypothèse, sinon, on la rejette.
Test de Kolmogorov-Smirnov

Il existe une variante du test précédent, le test de Kolmogorov-Smirnov, pour lequel on compare la distribution de deux échantillons statistiques.

  • Données : $n$ observations d'une variable aléatoire $X,$ $q$ observations d'une variable aléatoire $Y.$
  • Hypothèse testée : "Les fonctions de répartition de $X$ et de $Y,$ notées respectivement $F_X$ et $F_Y$ sont égales" avec risque d'erreur $a.$
  • Déroulement du test :
    1. On calcule $F_X$ et $F_Y$ comme ci-dessus.
    2. On calcule $K=\sup |F_X(x)-F_Y(x)|.$
    3. On compare avec la valeur critique de la loi du $\Delta$ de Kolmogorov-Smirnov : si $b$ est tel que $P(\Delta>b)=a$ et si $K<\sqrt{\frac{p+q}{pq}}b,$ alors on accepte l'hypothèse, sinon on la rejette.
  • Condition de validité : il faut que $p$ et $q$ soient grands, car on approxime la loi de $|F_X-F_Y|$ par la loi limite.
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