Exemple de Kolmogorov

Si $f:\mathbb R\to\mathbb C$ est une fonction $2\pi-$périodique, on peut calculer les coefficients de Fourier de $f$ à partir du moment où $f$ est intégrable sur $]0,2\pi[$. Il est bien sûr très intéressant de relier la série de Fourier d'une fonction intégrable avec la fonction. Kolmogorov a prouvé en 1926 qu'il existait une fonction intégrable dont la série de Fourier diverge partout. Ainsi, il n'y a aucun espoir d'espérer reconstruire toute fonction intégrable à l'aide de ses coefficients de Fourier.