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Dictionnaire de mathématiques > Géométrie > Géométrie plane >

Théorème de Jung

Considérons un nombre fini de points du plan. Quel est le rayon minimal d'un cercle englobant tous ces points? Si on pose $d$ la plus grande distance entre deux de ces points, alors le théorème de Jung affirme qu'on peut toujours trouver un tel cercle de rayon inférieur ou égal à $d/\sqrt 3$. De plus, le cas de trois points répartis sur les sommets d'un triangle équilatéral montre que ce rayon est optimal. Plus généralement, on a un théorème similaire en dimension $n$ :

Théorème : Soit $E$ une partie de $\mathbb R^n$ bornée, et soit $d$ son diamètre. Alors il existe une boule fermée $B$ de rayon $r$ telle que $E\subset B$ avec $$r\leq d\sqrt{\frac n{2(n+1)}}.$$
Ce théorème a été obtenu par le mathématicien allemand Heinrich Jung en 1901.
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