Le nom "inégalité de Jensen" est attribué à plusieurs inégalités associées aux fonctions convexes.
Théorème :
Soit $I\subset\mathbb R$ un intervalle et $f:I\to\mathbb R$ une fonction convexe. Pour tout $n\geq 2$, pour tous $x_1,\dots,x_n\in I$, pour tous $\lambda_1,\dots,\lambda_n\in[0,1]$ avec $\sum_{i=1}^n \lambda_i=1$, on a
$$f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\right)\leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i).$$
Pour une fonction concave, l'inégalité est dans le sens contraire. L'inégalité de Jensen, appliquée à la fonction $\ln$
qui est concave sur $]0,+\infty[$, permet par exemple de démontrer l'inégalité arithmético-géométrique : pour tous réels $a_1,\dots,a_n$
positifs,
$$\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\leq \frac{a_1+\cdots+a_n}{n}.$$
Théorème :
Soit $a,b\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}$ avec $a<b,$ soit $f:[0,1]\to ]a,b[$ continue et soit $\phi:]a,b[\to\mathbb R$ convexe. Alors
$$\phi\left(\int_0^1f(x)dx\right)\leq\int_0^1\phi\circ f(x)dx.$$
On rappelle que si $\phi$ est une fonction convexe sur $]a,b[$, alors $\phi$ est continue, dérivable
à droite sur $]a,b[$, et :
$$\displaystyle \forall c,y\in]a,b[,\ \phi(y)\geq \phi(c)+(y-c)\phi_d'(c)\textrm{ où }\phi_d'(c)\textrm{ est la dérivée à droite en c}.$$
On note $I=\int_0^1 f$, qui est élément de $]a,b[$. Alors, l'inégalité
précédente donne avec $y=f(x)$ et $c=I$ :
$$ \phi\circ f(x)-\phi(I)-(f(x)-I)\phi_d'(I)\geq 0.$$
En intégrant cette inégalité, on obtient le résultat.
Dans le théorème précédent, on peut considérer plus généralement $(\Omega,\mathcal A,\mu)$ un espace de probabilité. Dans ce cas,
si $f\in L^1(\Omega,\mathcal A,\mu),$ et si $\phi:\mathbb R\to\mathbb R$ est convexe, alors
$$\phi\left(\int_\Omega f d\mu\right)\leq \int_{\Omega} \phi\circ f d\mu.$$
Ceci s'utilise très souvent en termes probabilistes : si $X$ est une variable aléatoire réelle et si $\phi:\mathbb R\to\mathbb R$
est convexe, alors
$$\phi(\mathbb E(X))\leq \mathbb E(\phi(X))$$
pourvu que les deux espérances existent.
