Jauge d'un convexe
oit $C$ un convexe compact de $\mathbb R^n$ tel que $0$ appartient à l'intérieur de ce convexe compact. On appelle jauge de ce convexe (ou fonctionnelle de Minkowski du convexe) la fonction $j : C\to\mathbb R_+$ définie par $$j(x)=\inf\left\{\alpha>0:\ \frac x\alpha\in C\right\}.$$ La fonction $j$ est bien définie : en effet, $C$ contient une boule $B(0,r)$ centrée en $0,$ et donc si $\alpha$ est assez grand, on a $\frac x\alpha$ qui est élément de $B(0,r),$ et a fortiori de $C.$ En outre, on peut prouver que :
- $j(x)=0$ si, et seulement si, $x=0.$
- $j(ax)=aj(x)$ si $a>0.$
- $j(x+y)\leq j(x)+j(y).$
- $j$ est une fonction continue, et même lipschitzienne.
Ainsi, si le convexe est symétrique par rapport à l'origine, la jauge de $C$ définit sur $\mathbb R^n$ une norme dont la boule unité fermée est ce compact $C.$ Dans le cas général, l'utilisation des jauges permet de démontrer que deux convexes compacts de $\mathbb R^n$ d'intérieur non vide sont homéomorphes. Par exemple, pour démontrer que $C$ est homéomorphe à la boule unitée de $\mathbb R^n,$ on utilise la fonction suivante $$x\mapsto \frac{j(x)}{\|x\|}x$$ qui est une bijection bicontinue de $C$ sur la boule unité.