Polynômes de Jacobi

Les polynômes de Jacobi sont les polynômes orthogonaux pour le produit scalaire $$(P,Q)\mapsto \int_{-1}^1(1-t)^\alpha(1+t)^\beta P(t)Q(t)dt$$ avec $\alpha,\beta>-1$. Pour tout $n\in\mathbb N$, le polynôme de Jacobi d'indice $n$ est donné par la formule $$P_n(x)=\frac{(-1)^n }{2^n n!(1-x)^\alpha(1+x)^\beta}\frac{d^n}{dx^n}\big((1-x)^\alpha(1+x)^\beta(1-x^2)^n\big).$$ Le polynôme $P_n$ est solution de l'équation différentielle $$(1-x^2)y''+\big((\beta-\alpha)-(\alpha+\beta+2)x\big)y'+n(n+\alpha+\beta+1)y=0.$$ Pour $\alpha=\beta=0$, on trouve les polynômes de Legendre, pour $\alpha=\beta=-1/2$ les polynômes de Tchebychev, pour $\alpha=\beta$, les polynômes de Gegenbauer.