Théorèmes d'isomorphisme (en théorie des groupes)
En théorie des groupes, les théorèmes d'isomorphisme sont trois résultats qui donnent l'existence d'isomorphismes entre certains groupes.
Premier théorème d'isomorphisme :
Soit $G$ et $G'$ deux groupes et $f:G\to G'$ un morphisme de groupes. Alors $f$ induit un isomorphisme $\hat f$ de $G/\ker f$ sur $f(G)$
défini par $\hat f(xH)=f(x)$ où $H$ est le noyau de $f$.
Deuxième théorème d'isomorphisme :
Soit $G$ un groupe, $N$ un sous-groupe normal de $G$ et $H$ un sous-groupe de $G$. Alors $H\cap N$ est un sous-groupe normal de $H$
et on a l'isomorphisme $H/(H\cap N)\simeq HN/N$.
Dans l'énoncé précédent, $HN=\{hn:\ h\in H,\ n\in N\}$ est un groupe et $N$ est un sous-groupe normal de $HN$.
Troisième théorème d'isomorphisme :
Soit $G$ un groupe, $N$ et $M$ deux sous-groupes normaux de $G$ tels que $M$ est inclus dans $N$.
Alors $N/M$ est un sous-groupe normal de $G/M$ et on a l'isomorphisme suivant :
$$ ( G / M ) / ( N / M ) \simeq G / N . $$
Consulter aussi
Recherche alphabétique
Recherche thématique