Point isolé

Soit $E$ un espace topologique, $A$ une partie non vide de $E,$ et $a\in A.$ On dit que le point $a$ est isolé dans $A$ s'il existe un voisinage $V$ de $a$ dans $E$ tel que $V\cap A=\{a\}.$ Autrement dit, cela signifie que $\{a\}$ est un ouvert de $A$ pour la topologie induite par $E.$

Exemple : Si $E$ est l'ensemble des réels muni de la distance usuelle, si $A=\{0\}\cup [1,2],$ alors $0$ est un point isolé de $A.$

Dans le cadre des espaces métriques, on peut reformuler cette définition en disant qu'un point $a$ est isolé dans $A$ si toute suite de $A$ qui converge vers $a$ stationne en $a.$

Un espace topologique dans lequel tout point est isolé est appelé discret.