Espace topologique irréductible
Un espace topologique $E$ est dit irréductible s'il ne peut pas s'écrire comme réunion de deux fermés propres.
Théorème : Soit $E$ un espace
topologique non vide. Les assertions suivantes sont équivalentes :
- $E$ est irréductible ;
- l'intersection d'une famille finie d'ouverts non vides de $E$ est non vide ;
- la réunion d'une famille finie de fermés propres de $E$ est propre ;
- tout ouvert non vide de $E$ est dense dans $E$ ;
- tout ouvert de $E$ est connexe.
Lorsqu'un espace topologique est séparé, ses parties irréductibles sont les singletons. La notion d'espace topologique irréductible n'est donc intéressante que pour certaines topologies particulières.
Exemple : Si $E$ est un ensemble infini muni de la topologie cofinie (c'est-à-dire la topologie où les parties fermées sont finies ou égales à $E$), alors c'est un espace irréductible.
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