Élément irréductible d'un anneau

Dans un anneau intègre $A$, un élément non nul $p$ est irréductible s'il n'est pas inversible, et si, dès que l'on écrit $p=ab$, ou bien $a$ est inversible, ou bien $b$ est inversible.

Dans un anneau intègre, tout élément premier est irréductible. Dans un anneau factoriel, ces deux notions sont équivalentes.

Ex : Dans l'anneau $\mathbb Z$, $7$ est irréductible, car il n'est pas inversible, et si on écrit $7=ab$, alors ou bien $a$, ou bien $b$, vaut $1$ ou $-1$. Plus généralement, dans $\mathbb Z$, un entier (positif) est irréductible si et seulement s'il est premier.