Intégration numérique
Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a,b],$ bien souvent on ne sait pas calculer une primitive de $f.$ Ainsi, si l'on désire obtenir la valeur de $\displaystyle \int_a^b f(t)dt,$ il faut parfois se contenter d'obtenir une valeur approchée à l'aide d'une méthode d'intégration numérique.
La plupart des méthodes d'intégration numérique fonctionnent sur le même principe. On commence par couper le gros intervalle $[a,b]$ en $N$ plus petits intervalles $[a_i,a_{i+1}],$ avec $a_1=a$ et $a_{N+1}=b.$ Puis, pour chaque intervalle $[a_i,a_{i+1}],$ on essaie d'approcher $\displaystyle \int_{a_i}^{a_{i+1}}f(t)dt.$ Les moyens les plus simples sont :
- la méthode des rectangles à gauche : on approche $\int_{a_i}^{a_{i+1}}f(t)dt$ par $(a_{i+1}-a_i)f(a_i).$
Géométriquement, cela signifie qu'on approche l'intégrale de f par l'aire des rectangles hachurés en vert :
- la méthode des rectangles à droite : on approche $\int_{a_i}^{a_{i+1}}f(t)dt$ par $(a_{i+1}-a_i)f(a_{i+1}).$
Géométriquement, cela signifie qu'on approche l'intégrale de f par l'aire des rectangles hachurés en rouge :
- la méthode du point milieu : on approche $\int_{a_i}^{a_{i+1}}f(t)dt$ par $(a_{i+1}-a_i)f\left(\frac{a_i+a_{i+1}}2\right).$
Géométriquement, cela signifie qu'on approche l'intégrale de f par l'aire des rectangles hachurés en bleu :
- la méthode des trapèzes : on approche $\int_{a_i}^{a_{i+1}}f(t)dt$ par $(a_{i+1}-a_i)\frac{f(a_i)+f(a_{i+1})}2.$
Géométriquement, cela signifie qu'on approche l'intégrale de f par l'aire des trapèzes hachurés en marron :
Sous l'hypothèse que $f$ est continue, on prouve que ces méthodes d'intégration numérique fonctionnent : quand on augmente le nombre de fois où on coupe le segment [a,b], la valeur de l'intégrale approchée converge vers la vraie valeur de l'intégrale.