Interpolation de fonctions par des polynômes
Vous avez mesuré la concentration d'un produit A dans une solution aux temps t=0, t=5 min, t=10 min, t=20 min et t=30 min. Comment en déduire la concentration du produit pour t=15 min? Ce problème, qui consiste en évaluer la valeur d'une fonction en tous ses points à partir de ses valeurs en certains points s'appelle le problème de l'interpolation.
On dispose donc d'une fonction $f$, continue sur un intervalle $I$, et de $N$ points $x_1,\dots,x_N$, où on connait $y_i=f(x_i)$. L'interpolation polynomiale consiste à approcher $f$ par un polynôme $P$ qui vérifie $P(x_i)=y_i=f(x_i)$ pout tout $i=1,\dots,n$. On dit que $P$ interpole $f$ en $x_i$. On démontre qu'il existe exactement un polynôme de degré au plus $N-1$ qui vérifie cela : c'est le polynôme interpolateur de Lagrange.
Est-ce que cela fonctionne? C'est-à-dire, si l'on connait mieux $f$, ie on connait sa valeur en de nombreux points, est-ce que le polynôme d'interpolation $P$ approche bien $f$ là où on ne connait pas $f$? Ce n'est malheureusement pas toujours le cas. Dans la figure ci-dessous, on a tracé en rouge la fonction $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+0,01}$ et en bleu le polynôme d'interpolation (de degré 8) en les points d'abscisse -1;-0,75;-0,5;-0,25;0;0,25;0.5;0,75,1. Un phénomène très étrange se passe au bord, le polynôme n'approche pas du tout $f$ et si l'on avait plus de points, toujours en les prenant de façon équirépartie, cela aurait été encore pire! On appelle ce phénomène de non-convergence des polynômes d'interpolation vers la fonction le phénomène de Runge.
Il existe d'autres moyens de réaliser une meilleure interpolation polynômiale. Par exemple, l'interpolation de Hermite suggère, lorsque la fonction $f$ est dérivable, de prendre un polynôme $P$ avec $P(x_i)=f(x_i)$ et $P'(x_i)=f'(x_i)$ (on interpole donc à la fois la fonction et sa dérivée. Sur la même figure, le polynôme d'interpolation de Hermite en -1;-0,5;0;0,5;1 a été représenté en violet. Tout comme celui de Lagrange, il est de degré 8. Mais l'approximation est bien meilleure!