Anneau intégralement clos
Soit $B$ un anneau commutatif, et $A$ un sous-anneau de $B$. Un élément $b$ de $B$ est entier sur $A$ s'il est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans $A$. Un anneau intègre $A$ est intégralement clos si tous les éléments de son corps des fractions entiers sur $A$ sont éléments de $A$.
Exemples :
- tout anneau factoriel est intégralement clos;
- plus généralement, un anneau intègre $A,$ de corps des fractions $\mathbb K,$ est intégralement clos si et seulement si tout polynôme unitaire irréductible de $A[X]$ reste irréductible dans $\mathbb K[X].$
- l'anneau $\mathbb Z[\sqrt 5]$ n'est pas intégralement clos : son corps des fractions est $\mathbb Q(\sqrt 5)$. Le nombre d'or $\frac{1+\sqrt 5}2$ est élément de ce corps des fractions, il est entier sur $\mathbb Z[\sqrt 5]$ (car racine du polynôme unitaire $X^2-X-1=0$) mais n'est pas élément de $\mathbb Z[\sqrt 5].$
- un anneau de Dedekind est intégralement clos (par définition).
- si $A$ est intégralement clos alors $A[X_1, \dots, X_n]$ est intégralement clos.
- si $(A_i)_{i\in I}$ est une famille de sous-anneaux d'un anneau intègre $B$, et si les $A_i$ sont intégralement clos, il en est de même de leur intersection.
Proposition :
Soit $A$ un anneau intègre. Les conditions suivantes sont équivalentes.
- L'anneau $A$ est intégralement clos.
- Pour tout idéal premier $\mathcal P$ de $A,$ l'anneau $A_{\mathcal P}$ (localisé de $A$ en $\mathcal P$) est intégralement clos.
- Pour tout idéal maximal $\mathcal M$ de $A,$ l'anneau $A_{\mathcal M}$ (localisé de $A$ en $\mathcal M$) est intégralement clos.
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