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Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Anneaux >

Clôture et fermeture intégrale

Soit $B$ un anneau, et $A$ un sous-anneau de $B$. On appelle fermeture intégrale de $A$ dans $B$ l'ensemble des éléments de $B$ qui sont entiers dans $A$. Il s'agit d'un sous-anneau de $B$ contenant $A.$ Si on note $C$ la fermeture intégrale de $A$ dans $B,$ alors :

  • si $B = C,$ on dit que $B$ est entier sur $A.$
  • si $C = A,$ on dit que $A$ est intégralement fermé dans $B$.

Si $A$ est intègre et $B$ est le corps des fractions de $A,$ alors on parle plutôt de clôture intégrale de $A.$ Un anneau intègre égal à sa clôture intégrale est appelé anneau intégralement clos.

  • la clôture intégrale de $\mathbb Z[\sqrt 5]$ est $\mathbb Z[(1+\sqrt 5)/2].$
  • la clôture intégrale de $\mathbb Z[t^2,t^3]$ est $\mathbb Z[t].$
  • tout anneau factoriel est intégralement clos.
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