Intégrale curviligne

Soit $U$ un ouvert de $\mathbb R^n,$ $\omega=\omega_1dx_1+\cdots+\omega_n dx_n$ une forme différentielle sur $U$ et $\gamma=([a,b],f)$ un arc paramétré de classe $\mathcal C^1,$ i.e. la donnée d'un segment $[a,b]$ et d'une fonction $f:[a,b]\to U$ de classe $\mathcal C^1.$ On appelle intégrale curviligne de $\omega$ le long de $\gamma$ \begin{eqnarray*} \int_\gamma\omega&=&\int_a^b \omega(f(t))(f'(t))dt\\ &=&\int_a^b \omega_1(f_1(t))f_1'(t)+\cdots+\omega_n(f_n(t))f_n'(t). \end{eqnarray*} Cette définition est "intrinsèque" au sens qu'elle ne dépend que de l'arc géométrique et non du paramétrage : si $g:[c,d]\to U$ est un autre paramétrage de l'arc, i.e. s'il existe un difféomorphisme $\theta:[c,d]\to[a,b]$ tel que $g=f\circ\theta,$ alors $$\int_a^b \omega(f(t))(f'(t))=\int_c^d \omega(g(t))(g'(t))dt$$ si $\theta$ est croissante, $$\int_a^b \omega(f(t))(f'(t))=-\int_c^d \omega(g(t))(g'(t))dt$$ si $\theta$ est décroissante. Si $C$ est l'image de l'arc, c'est-à-dire si $C=f([a,b])$, et qu'on a choisi un sens de parcours pour $C,$ on notera $$\int_C \omega=\int_\gamma\omega.$$

L'intégrale curviligne possède de nombreuses propriétés usuelles d'une intégrale : relation de Chasles quand on met bout à bout des arcs paramétrés, linéarité par rapport à la forme différentielle...